Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA = x còn tất cả các cạnh khác có độ dài bằng 2.

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Ta có $AO=SO=CO\Rightarrow SO=\frac{1}{2}AC\Rightarrow \Delta SAC$ nên

 $AO=SO=CO\Rightarrow SO=\frac{1}{2}AC\Rightarrow \Delta SAC$ vuông tại S.

Do đó, $AC=\sqrt{S{A}^2+S{C}^2}=\sqrt{x^2+4}$

$\Rightarrow OD=\sqrt{A{D}^2-A{O}^2}=\sqrt{4-\frac{4+x^2}{4}}=\frac{\sqrt{12-x^2}}{2}$

$\Rightarrow BD=\sqrt{12-x^2},0<x<2\sqrt{3}$.

Ta thấy $\left\{\begin{array}{l}BD\perp AC\\ BD\perp SO\end{array}\right.\Rightarrow BD\perp \left(SAC\right)$.

Trong $\Delta SAC$ hạ $SH\perp AC$.

Khi đó, $\left\{\begin{array}{l}SH\perp AC\\ SH\perp BD\end{array}\right.\Rightarrow SH\perp \left(ABCD\right)$.

Xét tam giác vuông SAC có $\frac{1}{S{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{S{C}^2}\Rightarrow SH=\frac{SA.SC}{\sqrt{S{A}^2+S{C}^2}}=\frac{2x}{\sqrt{4+x^2}}$

$\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.\sqrt{x^2+4}.\sqrt{12-x^2}.\frac{2x}{\sqrt{x^2+4}}=\frac{1}{3}.x.\sqrt{12-x^2}\le \frac{1}{3}\frac{x^2+12-x^2}{2}=2$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x^2=12-x^2\Rightarrow x=\sqrt{6}$.

Chọn D