Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn |z1|=2, |z2|= căn bậc hai của 3.

Ta có $S=\left|z_1^2+4z_2^2\right|=\left|z_1^2-{\left(2i{z}_2\right)}^2\right|=\left|z_1-2i{z}_2\right|.\left|z_1+2i{z}_2\right|$

Gọi P là điểm biểu diễn của số phức $2i{z}_2$.

Khi đó ta có

$\left|z_1-2i{z}_2\right|.\left|z_1+2i{z}_2\right|=\left|\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OP}\right|.\left|\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OP}\right|$

                                $=\left|\overrightarrow{PM}\right|.\left|2\overrightarrow{OI}\right|=2PM.OI$ (I là trung điểm PM).

Do $\widehat{MON}=30°$ nên áp dụng định lí cosin ta tính được MN = 1.

Khi đó $\Delta OMP$ có MN đồng thời là đường cao và đường trung tuyến,

suy ra $\Delta OMP$ cân tại M $\Rightarrow PM=OM=2$.

Áp dụng định lí đường trung tuyến cho $\Delta OMN$ ta có: $O{I}^2=\frac{O{M}^2+O{P}^2}{2}-\frac{M{P}^2}{4}=7$.

Vậy $S=2PM.OI=\mathrm{2.2.}\sqrt{7}=4\sqrt{7}$.

Chọn C