Cho dãy số (un) với { u1=1 un+1 =un +n^2, n thuộc N*. Tính u21.

Từ $u_{n+1}=u_n+n^2$, với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$, ta có:

$u_2=u_1+1^2$; $u_3=u_2+2^2$; …; $u_n=u_{n-1}+{\left(n-1\right)}^2$; $u_{n+1}=u_n+n^2$.

Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được: $u_{n+1}=1+\left(1^2+2^2+\mathrm{...}+n^2\right)$, với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Mặt khác, ta luôn có: $1^2+2^2+\mathrm{...}+n^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}$ nên suy ra

$u_{n+1}=1+\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}$, với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Cho n=20, ta được $u_{21}=1+\frac{\mathrm{20.21.}\left(2.20+1\right)}{6}=2871$.

Chọn C