Một mảnh đất hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB=25m , chiều rộng AD=20m

* Hướng dẫn giải

Do cần thời gian xây là ngắn nhất nên con đường làm trên mỗi miền phải là những đường thẳng.

Gọi AE và EC lần lượt là đoạn đường cần làm. Với $NE=x\left(m\right).$

$\Rightarrow EM=25-x\left(m\right).$

Ta được $\left\{\begin{array}{l}AE=\sqrt{A{N}^2+E{N}^2}=\sqrt{100+x^2}\\ EC=\sqrt{M{C}^2+E{M}^2}=\sqrt{100+\left(25-x^2\right)}\end{array}\right..$

Thời gian để làm đoạn đường từ A đến C là:

$t\left(x\right)=\frac{AE}{15}+\frac{EC}{30}=\frac{\sqrt{100+x^2}}{15}+\frac{\sqrt{\left(25-x^2\right)+100}}{30}\left(h\right)$

$\Rightarrow t\text{'}\left(x\right)=\frac{x}{15\sqrt{100+x^2}}-\frac{25-x}{30.\sqrt{{\left(25-x\right)}^2+100}}.$

Xét $t\text{'}\left(x\right)=0\iff \frac{x}{15\sqrt{100+x^2}}-\frac{25-x}{30.\sqrt{{\left(25-x\right)}^2+100}}=0$

$\begin{array}{l}\iff 2x\sqrt{{\left(25-x\right)}^2+100}=\left(25-x\right)\sqrt{100+x^2}\\ \iff 4x^2\left({\left(25-x\right)}^2+100\right)={\left(25-x\right)}^2\left(100+x^2\right)\\ \iff 4x^2{\left(25-x\right)}^2+400x^2-100{\left(25-x\right)}^2-{\left(25-x\right)}^2{x}^2=0\\ \iff 4{\left(25-x\right)}^2\left(x^2-25\right)+x^2\left({20}^2-{\left(25-x\right)}^2\right)=0\\ \iff \left(x-5\right)\left(4{\left(25-x\right)}^2\left(x+5\right)+x^2\left(45-x\right)\right)=0\iff x=5\end{array}$

Ta được $t\left(0\right)=\frac{4+\sqrt{29}}{6};t\left(5\right)=\frac{2\sqrt{5}}{3};t\left(25\right)=\frac{1+\sqrt{29}}{3}.$

Vậy thời gian ngắn nhất mà đội xây dựng làm được con đường đi từ A đến C là $\frac{2\sqrt{5}}{3}\left(h\right).$

Chọn A