Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O' , bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 2a.

Câu hỏi :

Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O', bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 2a. Trên đường tròn đáy có tâm O lấy điểm A, trên đường tròn tâm O' lấy điểm B. Đặt $\alpha$  là góc giữa AB và đáy. Tính $\tan \alpha$  khi thể tích khối tứ diện $O{O}^{\text{'}}AB$  đạt giá trị lớn nhất.

* Đáp án

B

* Hướng dẫn giải

Gọi là hình chiếu vuông góc của B  lên mặt phẳng (O).

Kẻ $AH\perp OD,H\in OD.$

Ta có thể tích của khối chóp OO'AB  là

$V_{OO\text{'}AB}=\frac{1}{3}AH.S_{\Delta OO\text{'}B}=\frac{2a^2}{3}.AH\le \frac{2a^2}{3}.AO=\frac{4a^3}{3}$

${\left(V_{OO\text{'}AB}\right)}_{\max }\iff H\equiv O.$

 Suy ra $AD=2\sqrt{2}a.$   Suy ra $\tan \alpha =\tan \widehat{BAD}=\frac{1}{\sqrt{2}}.$

Chọn B