Xét khối tứ diện ABCD có độ dài cạnh AB thay đổi, CD=4 và các cạnh còn lại đều bằng căn bậc hai của 22

+) Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB, CD.

 $\Delta ACD$ cân tại A có trung tuyến $AF\Rightarrow AF\perp CD.$

$\Delta BCD$ cân tại B có trung tuyến $BF\Rightarrow BF\perp CD.$

$\Rightarrow CD\perp \left(AFB\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}CD\perp AB\\ CD\perp EF\end{array}\right..$

Mặt khác vì $\Delta ACD=\Delta BCD\left(c.c.c\right)$

$\Rightarrow A\text{}F=BF\Rightarrow E\text{}F\perp AB.$

$\Rightarrow E\text{}F$là đoạn vuông góc chung của AB và CD.

Do đó EF là trung trực của AB và CD nên tâm mặt cầu

ngoại tiếp tứ diện ABCD là điểm I  thuộc đoạn EF

+) Trong tam giác vuông$ADF.A{F}^2=A{D}^2-D{F}^2=18\Rightarrow AF=3\sqrt{2}.$ 

$V_{ABCD}=2V_{DABF}=2.\frac{1}{3}DF.S_{ABF}=\frac{2}{3}DF\frac{1}{2}.AF.BF\sin \widehat{AFB}$

$\le \frac{1}{3}DF.AF.BF=\frac{1}{3}{\left(3\sqrt{2}\right)}^2=6.$

$V_{ABCD}$ lớn nhất bằng 6 khi $\sin \widehat{AFB}=1\iff \widehat{AFB}={90}^0\iff AF\perp BF.$

Trong tam giác vuông cân ABF có: $AB=AF\sqrt{2}=6\Rightarrow EF=3.$   

Đặt $IE=x\Rightarrow IF=3-x\left(0\le x\le 3\right).$

Trong tam giác vuông AEI có: $A{I}^2=x^2+9.$

Trong tam giác vuông DFI có: $D{I}^2={\left(3-x\right)}^2+4.$

Tứ diện  ngoại tiếp mặt cầu tâm I thì $R=AI=DI\Rightarrow A{I}^2=D{I}^2$

$\Rightarrow x^2+9={\left(3-x\right)}^2+4\iff -6x+4=0\iff x=\frac{2}{3}\Rightarrow R^2=A{I}^2=\frac{85}{9}.$

Vậy $S=4\pi R^2=4\pi .\frac{85}{9}=\frac{340\pi }{9}.$

Chọn A