Trên tia phân giác góc A của tam giác ABC (AB > AC) lấy điểm M. Chứng minh |MB – MC| < AB – AC.

Kẻ \(MI \bot AB\); \(MJ \bot AC\) nên \(\widehat {AIM} = \widehat {AJM} = {90^o}\)

Xét ∆AMI và ∆AMJ có:

\(\widehat {AIM} = \widehat {AJM} = {90^o}\)(cmt)

Cạnh AM chung

\(\widehat {IAM} = \widehat {JAM}\) (vì AM là tia phân giác của \(\widehat {IAJ}\)).

Do đó ∆AMI = ∆AMJ (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra MI = MJ (1) (hai cạnh tương ứng)

Ta lại có AB – AC = AI + IB – (AJ + JC)

Mà AI = AJ (vì ∆AMI = ∆AMJ (cmt))

Suy ra AB – AC = IB – JC        (2)

Trên tia IB lấy điểm C’ sao cho IC’ = JC.

Từ (2) suy ra AB – AC = IB – IC’ = C’B      (3)

Trong ∆BMC’ có C’B > |BM – MC’| (bất đẳng thức tam giác)          (4)

Mặt khác ta có: ∆MIC’ = ∆MJC (c.g.c)

Suy ra MC’ = MC (5).

Từ (3), (4) và (5) suy ra |MB – MC| < AB – AC (đpcm)