Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Đường thẳng SC tạo với mặt phẳng đáy góc 450. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB...

Ta có

\[AC = a\sqrt 2 ;\widehat {SCA} = \widehat {\left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right)} = {45^0} \Rightarrow SA = AC = a\sqrt 2 \]

Dựng\[Bx||AC \Rightarrow d\left( {AC;SB} \right) = d\left( {AC;(SBx)} \right)\]

Dựng\[AE \bot Bx,\;AF \bot SE\,\,\,\left( 1 \right)\] ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{Bx \bot AE}\\{Bx \bot SA}\end{array}} \right. \Rightarrow Bx \bot (SAE) \Rightarrow Bx \bot AF(2)\)

Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow AF \bot \left( {SBE} \right) \Rightarrow d = d\left( {AC;\left( {SBx} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBx} \right)} \right) = AF\]

Ta có\[BE||AC \Rightarrow BE \bot BD\] dễ ràng suy ra OEBO là hình chữ nhật suy ra\[AE = OB = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\]

Vậy khoảng cách

\[d\left( {SB;AC} \right) = \frac{{AE.SA}}{{\sqrt {A{E^2} + S{A^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.a\sqrt 2 }}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} }} = \frac{{a\sqrt {10} }}{5}\]

Đáp án cần chọn là: C