Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=3a, BC=4a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc tạo bởi giữa SC và đáy bằng 60 độ. Gọi M là trung điểm của AC, tính khoảng...

Ta có:\[AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 5a\]

Xác định\[{60^0} = \widehat {\left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC,AC} \right)} = \widehat {SCA}\] và\[SA = AC.\tan \widehat {SCA} = 5a\sqrt 3 .\]

Gọi N là trung điểm BC, suy ra\[MN\parallel AB\]

Lấy điểm E đối xứng với N qua M, suy ra ABNE là hình chữ nhật.

Do đó\[d\left( {AB;SM} \right) = d\left( {AB;\left( {SME} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SME} \right)} \right).\]

Kẻ\[AK \bot SE\]

Vì\[ME \bot AE,ME \bot SA\] nên\[ME \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow ME \bot AK\]

Mà\[AK \bot SE\] nên \[AK \bot \left( {SME} \right)\]

Khi đó\[d\left( {A;\left( {SME} \right)} \right) = AK = \frac{{SA.AE}}{{\sqrt {S{A^2} + A{E^2}} }} = \frac{{10a\sqrt 3 }}{{\sqrt {79} }}.\]

Đáp án cần chọn là: D