Tìm a biết I = tích phân từ -1 đến 2 e^x dx / 2 + e^x = ln ae + e^3 / ae + b với a,bb là các số nguyên dương.

Đặt \[t = {e^x} \Rightarrow dt = {e^x}dx\]

Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 \Rightarrow t = {e^{ - 1}}}\\{x = 2 \Rightarrow t = {e^2}}\end{array}} \right.\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_{{e^{ - 1}}}^{{e^2}} {\frac{{dt}}{{t + 2}}} = ln|t + 2|\left| {_{{e^{ - 1}}}^{{e^2}}} \right. = ln({e^2} + 2) - ln({e^{ - 1}} + 2) = ln\frac{{{e^2} + 2}}{{{e^{ - 1}} + 2}}\\ = \ln \frac{{{e^2} + 2}}{{\frac{1}{e} + 2}} = \ln \frac{{2e + {e^3}}}{{2e + 1}} = \ln \frac{{ae + {e^3}}}{{ae + b}}\end{array}\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ae + {e^3} = 2e + {e^3}}\\{ae + b = 2e + 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{b = 1}\end{array}} \right.\)