Cho F ( x ) = x^2 là nguyên hàm của hàm số f ( x ) e^2 x và f(x) là hàm số thỏa mãn điều kiện f ( 0 ) = 0 , f ( 1 ) = 2/e^2 . . Tính tích phân I = tích phân từ 0 đến 1 f ′ ( x ) e^...

Vì \[{x^2}\] là một nguyên hàm của hàm số\[f\left( x \right){e^{2x}} \Rightarrow \smallint f\left( x \right){e^{2x}}\,{\rm{d}}x = {x^2}.\]

Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = {e^{2x}}}\\{dv = f\prime (x)dx}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = 2{e^{2x}}dx}\\{v = f(x)}\end{array}} \right.\) khi đó

\(\int\limits_0^1 {f'\left( x \right)} {e^{2x}}dx = f(x){e^{2x}}\left| {_0^1} \right. - 2\int\limits_0^1 {f(x){e^{2x}}dx} \)

Suy ra\[I = {e^2}f(1) - f(0) - 2{x^2}\left| {_0^1} \right. = 2 - 0 - 2 = 0\]

Vậy\[I = 0\]