Cho tích phân I = tích phân từ 0 đến pi/4 x^2 / ( x sin x + cos x )^2 d x = m − pi / m + pi , giá trị của m bằng :

* Hướng dẫn giải

Ta có :\[{\left( {x\sin x + \cos x} \right)^\prime } = \sin x + x\cos x - \sin x = x\cos x\]

\[ \Rightarrow I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \frac{{{x^2}}}{{{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}^2}}}{\rm{d}}x = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \frac{{\frac{x}{{\cos x}}.x\cos x}}{{{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}^2}}}dv\]

Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = \frac{x}{{cosx}}}\\{dv = \frac{{xcosx}}{{{{(xsinx + cosx)}^2}}}dx}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = \frac{{xsinx + cosx}}{{co{s^2}x}}dx}\\{v = \frac{1}{{xsinx + cosx}}}\end{array}} \right.\)

Khi đó

\(I = - \frac{x}{{cosx}}.\frac{1}{{xsinx + cosx}}\left| {_0^{\frac{\pi }{4}}} \right. + \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{dx}}{{co{s^2}x}}} \)

\( = \frac{{ - \frac{\pi }{4}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}.\frac{1}{{\frac{\pi }{4}\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}}} + tanx\left| {_0^{\frac{\pi }{4}}} \right.\)

\( = \frac{{ - \frac{\pi }{4}}}{{\frac{1}{2}\left( {\frac{\pi }{4} + 1} \right)}} + 1 = \frac{{ - 2\pi }}{{\left( {\pi + 4} \right)}} + 1 = \frac{{4 - \pi }}{{4 + \pi }} \Rightarrow m = 4\)

Đáp án cần chọn là: C