Nếu tích phân từ 0 đến pi f ( x ) sin x d x = 20 , tích phân từ 0 đến pi x f ( x ) ′ sin x d x = 5 thì I = tích phân từ 0 đến pi^2 f (căn bậc hai của x ) cos (căn bậc hai của x ) d...

* Hướng dẫn giải

Xét tích phân\[I = \mathop \smallint \limits_0^{{\pi ^2}} f\left( {\sqrt x } \right)\cos \left( {\sqrt x } \right)dx\]

Đặt\[t = \sqrt x \Rightarrow {t^2} = x \Rightarrow 2tdt = dx\]

Đổi cận:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow t = 0}\\{x = {\pi ^2} \Rightarrow t = \pi }\end{array}} \right.\) khi đó ta có

\[I = \mathop \smallint \limits_0^\pi f\left( t \right)\cos \left( t \right)2tdt = \mathop \smallint \limits_0^\pi 2f\left( x \right)\cos x.xdx\]

Xét tích phân\[\mathop \smallint \limits_0^\pi xf'\left( x \right)\sin xdx = 5\]

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = xsinx}\\{f\prime (x)dx = dv}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = (sinx + xcosx)du}\\{v = f(x)}\end{array}} \right.\)

\[\begin{array}{l}\mathop \smallint \limits_0^\pi xf\left( x \right)'\sin xdx = 5\\ \Leftrightarrow (xsinx.f(x))\left| {_0^\pi } \right. - \int\limits_0^\pi {[f(x)sinx + xf(x)cosx]dx = 5} \end{array}\]

\( \Leftrightarrow - \int\limits_0^\pi {f(x)sinxdx - \int\limits_0^\pi {xf(x)cosxdx = 5} } \)

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 20 - \frac{I}{2} = 5\\ \Leftrightarrow \frac{I}{2} = - 25\\ \Leftrightarrow I = - 50\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: B