Trong các số phức z thỏa mãn

Giả sử\[z = a + bi\left( {a,b \in R} \right)\] ta có:\[\left| {z + 3 + 4i} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {(a + 3) + (b + 4)i} \right| = 2 \Leftrightarrow {(a + 3)^2} + {(b + 4)^2} = 4\]

Do đó tập hợp điểm biểu diễn số phức z thuộc đường tròn tâm I(−3;−4) và bán kính r=2

Từ hình vẽ ta thấy số phức \[{z_0}\] có mô đun nhỏ nhất nếu \[{z_0}\] có điểm biểu diễn là M.

Ta có\[\overrightarrow {OI} = ( - 3; - 4)\] nên đường thẳng đi qua O và I là OI:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3t}\\{y = 4t}\end{array}} \right. \Rightarrow M(3t;4t)\)

Mặt khác\[M \in \left( C \right)\] nên:

\[{(3t + 3)^2} + {(4t + 4)^2} = 4 \Leftrightarrow 25{t^2} + 50t + 21 = 0\]

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{{ - 3}}{5}}\\{t = \frac{{ - 7}}{5}}\end{array}} \right.\)

\[M\left( {\frac{{ - 9}}{5};\frac{{ - 12}}{5}} \right)\] hoặc\[M\left( {\frac{{ - 21}}{5};\frac{{ - 28}}{5}} \right)\]

\[M\left( {\frac{{ - 9}}{5};\frac{{ - 12}}{5}} \right)\] thuộc (C)  và gần O nhất.

\[ \Rightarrow z = \frac{{ - 9}}{5} - \frac{{12}}{5}i \Rightarrow \left| z \right| = 3\]