Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy. Biết SB=a,SC hợp với (SAB) một góc 300 và (SAC) hợp với đáy (ABC) một góc 600. Thể tích khối chóp là:

Ta có:

\(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{AC \bot AB}\\{AC \bot SB(SB \bot (ABC))}\end{array}} \right\} \Rightarrow AC \bot (SAB) \Rightarrow AC \bot SA\)

⇒SA là hình chiếu vuông góc của SC trên

\[\left( {SAB} \right) \Rightarrow \widehat {\left( {SC;\left( {SAB} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC;SA} \right)} = \widehat {CSA} = {30^0}\]

\(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{(SAC) \cap (ABC) = AC}\\{(SAC) \supset SA \bot AC}\\{(ABC) \supset AB \bot AC}\end{array}} \right\} \Rightarrow ((SA\widehat {C);(A}BC))\)

\[SB \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SB \bot AB \Rightarrow {\rm{\Delta }}SAB\] vuông tại B

\[ \Rightarrow AB = SB.\cot {60^0} = a.\frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\]

\[ \Rightarrow SA = \sqrt {S{B^2} + A{B^2}} = \sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{3}} = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\]

Xét tam giác vuông SAC ta có: \[AC = SA.\tan {30^0} = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}.\frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{2a}}{3}\]

\[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}\frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\frac{{2a}}{3} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{9}\]

\[{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SB.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.a.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{9} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{27}}\]