Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB,AC,AD đôi một vuông góc với nhau, AB=6a,AC=7a,AD=4a. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,CD,DB. Thể tích V của tứ diện AMNP là:

Ta có:

ABCD là tứ diện vuông tại A nên

\[{V_{ABCD}} = \frac{1}{6}AB.AC.AD = \frac{1}{6}.6a.7a.4a = 28{a^3}\]

Áp dụng công thức tính tỉ lệ thể tích các khối tứ diện ta có:

\[\frac{{{V_{DAPN}}}}{{{V_{DABC}}}} = \frac{{DA}}{{DA}}.\frac{{DP}}{{DB}}.\frac{{DN}}{{DC}} = \frac{1}{1}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{4} \Rightarrow {V_{DAPN}} = \frac{1}{4}{V_{DABC}} = \frac{1}{4}.28{a^3} = 7{a^3}\]

\[\frac{{{V_{BAPM}}}}{{{V_{BADC}}}} = \frac{{BA}}{{BA}}.\frac{{BP}}{{BD}}.\frac{{BM}}{{BC}} = \frac{1}{1}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{4} \Rightarrow {V_{BAPM}} = \frac{1}{4}{V_{BADC}} = \frac{1}{4}.28{a^3} = 7{a^3}\]

\[\frac{{{V_{CAMN}}}}{{{V_{CABD}}}} = \frac{{CA}}{{CA}}.\frac{{CM}}{{CB}}.\frac{{CN}}{{CD}} = \frac{1}{1}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{4} \Rightarrow {V_{CAMN}} = \frac{1}{4}{V_{CABD}} = \frac{1}{4}.28{a^3} = 7{a^3}\]

Do đó

\[{V_{AMNP}} = {V_{ABCD}} - {V_{DAPN}} - {V_{BAPM}} - {V_{CAMN}} = 28{a^3} - 7{a^3} - 7{a^3} - 7{a^3} = 7{a^3}\]