Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tập tất cả giá trị của tham số m để mặt cầu (S) có phương trình

(S) có dạng\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\] với\[a = - 1,b = m,c = - 2\]

và\[d = m + 5\]

(S) là phương trình mặt cầu khi ta có

\[{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0 \Leftrightarrow 5 + {m^2} - (m + 5) > 0 \Leftrightarrow {m^2} - m > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > 1}\\{m < 0}\end{array}} \right.\]

Điểm A(1,1,1) thuộc phương trình mặt cầu

\[\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2my - 4z + m + 5 = 0\]  thì ta có

\[{1^2} + {1^2} + {1^2} - 2.1 + 2m.1 - 4.1 + m + 5 = 0 \Leftrightarrow 2 + 3m = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{2}{3}\]

(thỏa mãn)