Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2,0,0),B(0,3,0),C(0,0,−4). Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Tìm phương trình tham số của đường thẳng OH trong các phương án sau:...

H  là trực tâm của\[\Delta ABC \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0}\\{\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0}\\{\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH} = 0}\end{array}} \right.\]

Ta giả sử\[H\left( {x,y,z} \right)\] ta có

\[\overrightarrow {BC} = (0, - 3, - 4)\]

\[\overrightarrow {AC} = ( - 2,0, - 4)\]

\[\overrightarrow {AH} = (x - 2,y,z)\]

\[\overrightarrow {BH} = (x,y - 3,z)\]

\[\overrightarrow {AB} = ( - 2,3,0)\]

Điều kiện\[\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow 3y + 4z = 0\]

Điều kiện\[\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow x + 2z = 0\]

Ta tính\[[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = ( - 12, - 8,6)\]

Điều kiện

\[[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ].\overrightarrow {AH} = 0 \Leftrightarrow - 12(x - 2) - 8y + 6z = 0 \Leftrightarrow - 6x - 4y + 3z + 12 = 0\]