Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x - 2y - z + 7 = 0

Đáp án: 1

 Phương pháp giải:

- Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A và vuông góc với \(\left( P \right)\).

- Tìm \(H = \Delta \cap \left( P \right)\).

- Tìm \(a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c\) và tính tổng.

Giải chi tiết:

Gọi Δ là đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\), phương trình đường thẳng Δ là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 1 - 2t}\\{z = - 2 - t}\end{array}} \right.{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( \Delta \right)\)

Vì \(H\) là hình chiếu vuông góc của A trên \(\left( P \right)\) nên \[H = \Delta \cap \left( P \right)\]

\[ \Rightarrow \] Tọa độ điểm \[H\] là nghiệm của hệ phương trình:

 \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 1 - 2t}\\{z = - 2 - t}\\{2x - 2y - z + 7 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 1 - 2t}\\{z = - 2 - t}\\{2 + 4t - 2 + 4t + 2 + t + 7 = 0}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 1 - 2t}\\{z = - 2 - t}\\{9t + 9 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = - 1}\\{x = - 1}\\{y = 3}\\{z = - 1}\end{array}} \right. \Rightarrow H\left( { - 1;3; - 1} \right)\]

\[ \Rightarrow a = - 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b = 3,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c = - 1\]

Vậy \[a + b + c = - 1 + 3 - 1 = 1\].