Cho vuông tại A, kẻ tia phân giác của cắt AC tại D. Kẻ DE vuông góc với BC tại E, gọi F là giao điểm của BA và ED . a) Chứng minh ; b) So sánh AD và DC; c)

Câu hỏi :

Cho $\text{ΔABC}$ vuông tại A, kẻ tia phân giác của $\widehat{\text{ABC}}$ cắt AC tại D. Kẻ DE vuông góc với BC tại E, gọi F là giao điểm của BA và ED .

          a) Chứng minh $\Delta \text{ABD\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}}\Delta \text{EBD}$;

          b) So sánh AD và DC;

          c) Gọi K là trung điểm của FC. Chứng minh ba điểm B; D; K thẳng hàng.

* Đáp án

* Hướng dẫn giải

a) Chứng minh  $\text{ΔABD\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}ΔEBD}$

Xét tam giác ABD và tam giác EBD có:

$\widehat{\text{ADB}}\text{\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}}\widehat{\text{DEB}}{\text{\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}90}}^{\text{0}}$

Cạnh DB chung

$\widehat{\text{ABD}}\text{=}\widehat{\text{EBD}}$ $(Vì BD là tia phân giác của \text{ABC} )$

Do đó: $\text{ΔABD\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}ΔEBD}$ (cạnh huyền - góc nhọn)

b, So sánh AD và DC.

Vì $\text{ΔABD\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}ΔEBD}$ (c/m trên)  AD = ED (Cạnh tương ứng)

$Tam giác DEC vuông tại E$

=> $DC > DE (Trong tam giác vuông cạnh huyền là cạnh lớn nhất) Do đó: DC > AD$

c)

Chứng minh ba điểm B; D; K thẳng hàng

Ta có BD là tia phân giác của $\widehat{\text{ABC}}$ (GT) 

Ta có: $\widehat{CDE}=\widehat{FDA}$  (hai góc đối đỉnh)

$\widehat{EDB}=\widehat{ADB}$ $\text{ΔABD\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}ΔEBD}$

Suy ra: $\widehat{CDE}+\widehat{EDB}=\widehat{FDA}+\widehat{ADB}$ $\Rightarrow \widehat{CDB}=\widehat{FDB}$

Xét tam giác FDB và tam giác CDB có:

$\widehat{CDB}=\widehat{FDB}\left(cmt\right)$

DB cạnh chung

$\widehat{\text{ABD}}\text{=}\widehat{\text{EBD}}$ $(Vì BD là tia phân giác của \widehat{\text{ABC}} )$

Do đó: $\text{ΔFDB\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}ΔCDB}$ (G.C.G) BF = BC

Xét tam giác CKB và tam giác FKB có:

BK cạnh chung 

BF = BC (cmt)

CK = KF (K là trung điểm của CF)

Do đó: $\text{ΔCKB\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}ΔFKB}$ (C.C.C)

=> $\widehat{\text{CBK}}\text{\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}}\widehat{\text{FBK}}$ => $BK là tia phân giác của \widehat{\text{ABC}}$ (2)

Từ (1) và (2) => Ba điểm B;D;K thẳng hàng