Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2,0,0),B(0,3,0),C(0,0,−4)

H  là trực tâm của $\Delta ABC\iff \left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\\ \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0\\ \left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right].\overrightarrow{AH}=0\end{array}\right.$

Ta giả sử H(x,y,z), ta có

$\overrightarrow{BC}=(\mathrm{0,}-\mathrm{3,}-4)$

$\overrightarrow{AC}=(-\mathrm{2,0,}-4)$

$\overrightarrow{AH}=(x-\mathrm{2,}y,z)$

$\overrightarrow{BH}=(x,y-\mathrm{3,}z)$

$\overrightarrow{AB}=(-\mathrm{2,3,0})$

Điều kiện $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\iff 3y+4z=0$

Điều kiện $\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0\iff x+2z=0$

Ta tính $[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(-\mathrm{12,}-\mathrm{8,6})$

Điều kiện

Giải hệ $\left\{\begin{array}{c}3y+4z=0\\ x+2z=0\\ -6x-4y+3z+12=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x=\frac{72}{61}\\ y=\frac{48}{61}\\ z=\frac{-36}{61}\end{array}\right.$

Suy ra $H(\frac{72}{61},\frac{48}{61},\frac{-36}{61})$

Suy ra $\overrightarrow{OH}=(\frac{72}{61},\frac{48}{61},\frac{-36}{61})$  là vecto chỉ phương của OH.

Chọn $\overrightarrow{u}=(\mathrm{6,4,}-3)$  là vecto chỉ phương của OH và OH qua O(0,0,0)O(0,0,0) nên phương trình tham số là $\left\{\begin{array}{c}x=6t\\ y=4t\\ z=-3t\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: C