Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng đenta

* Hướng dẫn giải

Đường thẳng  $\text{Δ}$ đi qua điểm $M\left(2;5;7-2\sqrt{2}\right)$ và nhận$\overrightarrow{u}=\left(m^2-2m;4-m;0\right)$ làm VTCP.

Có$\overrightarrow{AM}=\left(1;3;4-2\sqrt{2}\right)\Rightarrow AM=\sqrt{34-16\sqrt{2}}$

Để $d\left(A,\text{Δ}\right)=A{H}_{\min }$ thì $\sin \alpha =\frac{AH}{AM}$ đạt GTNN hay $\cos \alpha$ đạt GTLN.

Mà

$\cos \alpha =\cos \left(AM,\text{Δ}\right)=\frac{\left|\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{u}\right|}{\left|\overrightarrow{AM}\right|.\left|\overrightarrow{u}\right|}=\frac{\left|\left(m^2-2m\right)+3\left(4-m\right)\right|}{\sqrt{34-16\sqrt{2}}.\sqrt{{\left(m^2-2m\right)}^2+{\left(4-m\right)}^2}}$

Mà$\left|\left(m^2-2m\right)+3\left(4-m\right)\right|\le \sqrt{1^2+3^2}.\sqrt{{\left(m^2-2m\right)}^2+{\left(4-m\right)}^2}$

$\Rightarrow \frac{\left|\left(m^2-2m\right)+3\left(4-m\right)\right|}{\sqrt{34-16\sqrt{2}}.\sqrt{{\left(m^2-2m\right)}^2+{\left(4-m\right)}^2}}\le \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{34-16\sqrt{2}}}$

 đạt GTLN nếu

$\frac{m^2-2m}{1}=\frac{4-m}{3}\iff 3m^2-6m=4-m\iff 3m^2-5m-4=0$

Phương trình này có hai nghiệm phân biệt do ac<0 nên tổng các giá trị của m là $\frac{5}{3}$

Đáp án cần chọn là: B