Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc (ABCD). Biết AC = a căn bậc hai của 2, cạnh SC tạo với đáy một góc 60 độ

* Hướng dẫn giải

Ta có:$SA\perp \left(ABCD\right)\Rightarrow AC$ là hình chiếu của SC trên

$\left(ABCD\right)\Rightarrow \widehat{\left(SC;\left(ABCD\right)\right)}=\widehat{\left(SC;AC\right)}={60}^0$

$SA\perp \left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp AC\Rightarrow \text{Δ}SAC$vuông tại A và $\widehat{SCA}={60}^0$

Xét tam giác vuông SAC có:

$SA=AC.\tan 60=a\sqrt{2}.\sqrt{3}=a\sqrt{6};SC=\frac{AC}{\text{cos}60}=\frac{a\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}=2a\sqrt{2}$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAC có:

$A{C}^2=HC.SC\Rightarrow \frac{HC}{SC}=\frac{A{C}^2}{S{C}^2}=\frac{2a^2}{8a^2}=\frac{1}{4}$

Trong(SAC)  kẻ  $HK//SA\Rightarrow HK\perp \left(ABCD\right)$

Ta có:$\frac{HK}{SA}=\frac{HC}{SC}=\frac{1}{4}\Rightarrow HK=\frac{1}{4}SA=\frac{a\sqrt{6}}{4}$

Vậy $V_{H.ABCD}=\frac{1}{3}HK.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{4}.\frac{3a^2}{2}=\frac{a^3\sqrt{6}}{8}$

Đáp án cần chọn là: C