Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, AB=4, SA=SB=SC=12. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm

Gọi D là giao điểm của MB và EN thì D là trung điểm của MB.

Ta có: $V_{MNEF}=V_{M.NEF}=\frac{1}{3}{S}_{NEF}.d\left(M,\left(NEF\right)\right)$

Do D là trung điểm của MB và MB cắt (EFN) tại D nên $d\left(M,\left(NEF\right)\right)=d\left(B,\left(NEF\right)\right)$

$\Rightarrow V_{MNEF}=\frac{1}{3}{S}_{NEF}.d\left(B,\left(NEF\right)\right)=V_{B.NEF}$

Mà $\frac{V_{B.NEF}}{V_{B.CAS}}=\frac{BN}{BC}.\frac{BE}{BA}.\frac{BF}{BS}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{2}{3}=\frac{1}{6}$

Vì $SA=SB=SC$ nên S nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Mà ABC vuông cân nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Do đó

$SM\perp \left(ABC\right)$

Diện tích tam giác ABC là $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.BC=\frac{1}{2}\mathrm{.4.4}=8$

Tam giác ABC vuông cân tại B nên

Tam giác SMA vuông tại M nên theo Pitago ta có: $SM=\sqrt{S{A}^2-A{M}^2}=\sqrt{{12}^2-{\left(2\sqrt{2}\right)}^2}=2\sqrt{34}$

Thể tích khối chóp S.ABC là: $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}.SM=\frac{1}{3}\mathrm{.8.2}\sqrt{34}=\frac{16\sqrt{34}}{3}$

Thể tích khối tứ diện MNEF là: $V_{MNEF}=\frac{1}{6}.V_{S.ABC}=\frac{1}{6}.\frac{16\sqrt{34}}{3}=\frac{8\sqrt{34}}{9}$

Đáp án cần chọn là: A