Cho tứ diện ABCD có G là điểm thỏa mãn vecto GA + vecto GB + voecto GC + vecto GD = 0. Mặt phẳng thay đổi chứa BG

Trong (ABE) gọi $F=BG\cap AE\left(F\in AE\right)$

Lấy $M\in AC$ trong (ACD) gọi $N=MF\cap AD\left(N\in AD\right)$ khi đó ta có mặt phẳng chứa BG cắt AC,AD lần lượt tại M,N chính là (BMN).

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác AOE, cát tuyến BGF:

$\frac{GA}{GO}.\frac{BO}{BE}.\frac{FE}{FA}=1\Rightarrow 3.\frac{2}{3}.\frac{FE}{FA}=1\Rightarrow \frac{FE}{FA}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{AF}{AE}=\frac{2}{3}\Rightarrow F$ là trọng tâm tam giác ACD.

Trong (ACD) kéo dài MN cắt CD tại H. Đặt $\frac{AM}{AC}=x(0<x<1)$

 Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ACE, cát tuyến MHF:

Ta có:

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác AED, cát tuyến MFN:

Khi đó ta có $\frac{V_{ABMN}}{V_{ABCD}}=\frac{AM}{AC}.\frac{AN}{AD}=x.\frac{x}{3x-1}=\frac{x^2}{3x-1}\left(x>\frac{1}{3}\right)$

Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2}{3x-1}\left(x>\frac{1}{3}\right)$ ta có

BBT: