Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC.

Giả sử $SC\cap \left(IMN\right)=\left\{P\right\}\Rightarrow \left(IMN\right)\cap \left(SAC\right)=IP$

Ta có: $\left\{\begin{array}{c}\left(IMN\right)\cap \left(SAC\right)=IP\\ \left(IMN\right)\cap \left(ABCD\right)=MN\\ \left(SAC\right)\cap \left(ABCD\right)=AC\end{array}\right.\Rightarrow IP\parallel MN\parallel AC$
Trong (ABCD) gọi $\left\{E\right\}=MN\cap CD$ trong (SCD) gọi $Q=NP\cap SD$

Khi đó thiết diện của hình chóp cắt bởi (MNI) là ngũ giác IMNPQ.

Gọi $V_1=V_{S.BMNPQI},V=V_{S.ABCD}$theo bài ra ta có $V_1=\frac{7}{32}V$

Ta có $V_1=V_{S.BMN}+V_{S.IMN}+V_{S.INP}+V_{S.IPQ}$

Đặt $\frac{SI}{SA}=x(0<x<1)$ áp dụng định lí Ta-lét ta có $\frac{SI}{SA}=\frac{SP}{SC}=x$

- Xét khối chóp S.BMN và S.ABCD:

  + Có cùng chiều cao (cùng bằng khoảng cách từ SS đến (ABCD)).

$S_{BMN}=\frac{1}{4}{S}_{ABC}=\frac{1}{8}{S}_{ABC}$(do tam giác BMN và tam giác BAC đồng dạng theo tỉ số $\frac{1}{2}$)

Do đó $V_{S.BMN}=\frac{1}{8}{V}_{S.ABCD}=\frac{1}{8}V$

- Xét khối chóp S.IMN và S.AMN:

Ta có $S_{ANC}=\frac{1}{2}{S}_{ABC}=\frac{1}{4}{S}_{ABCD}\Rightarrow V_{S.ANC}=\frac{1}{4}V\Rightarrow V_{S.IMN}=\frac{x^2}{4}V$

- Xét khối chóp S.IPQ và S.ACD: $\frac{V_{S.IPQ}}{V_{S.ACD}}=\frac{SI}{SA}.\frac{SP}{SC}.\frac{SQ}{SD}$

Ta có AMEC là hình bình hành nên $EC=AM=\frac{1}{2}CD\Rightarrow \frac{EC}{ED}=\frac{1}{3}$

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác SCD với cát tuyến EPQ ta có:

Suy ra $\frac{V_{S.IPQ}}{V_{S.ACD}}=\frac{SI}{SA}.\frac{SP}{SC}.\frac{SQ}{SD}=x^2.\frac{x}{3-2x}=\frac{x^3}{3-2x}$

Mà $S_{ACD}=\frac{1}{2}{S}_{ABCD}\Rightarrow V_{S.ACD}=\frac{1}{2}V\Rightarrow V_{S.IPQ}=\frac{x^3}{2\left(3-2x\right)}V$

Khi đó ta có:

$\Rightarrow \frac{SI}{SA}=\frac{3}{8}\Rightarrow \frac{IS}{IA}=\frac{3}{5}\Rightarrow \frac{IA}{IS}=\frac{5}{3}$
Đáp án cần chọn là: A