Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng căn bậc hai của 6. Biết rằng các mặt bên của

Gọi M,N,P lần lượt là hình chiếu của điểm S lên AB,BC,AC ta có:

$\begin{array}{l}{S}_{\text{Δ}ABC}=S_{\text{Δ}BCA}=S_{\text{Δ}CAB}\\ \Rightarrow \frac{1}{2}SM.AB=\frac{1}{2}SN.BC=\frac{1}{2}SP.CA\end{array}$

Mà $AB=BC=CA\left(gt\right)\Rightarrow SM=SN=SP$

Gọi O là hình chiếu của S lên (ABC), ta có:

CMTT ta có $ON\perp BC,OP\perp AC$

Xét các tam giác vuông $\text{Δ}SOM,\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}Δ}SON,\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}Δ}SOP$ có:

$\Rightarrow \text{Δ}SOM=\text{Δ}SON=\text{Δ}SOP$(cạnh huyền – cạnh góc vuông)

$\Rightarrow OM=ON=OP$ suy ra OO cách đều các cạnh AB,BC,CA nên O là tâm đường tròn nội tiếp $\text{Δ}ABC$ hoặc O là tâm đường tròn bàng tiếp $\text{Δ}ABC$

+ TH1: O là tâm đường tròn nội tiếp $\text{Δ}ABC$. Mà $\text{Δ}ABC$ đều nên O là đồng thời là trọng tâm tam giác đều ABC. Khi đó ta có

TH2: O là tâm đường tròn bàng tiếp $\text{Δ}ABC$.

Gọi R là bán kính đường tròn bàng tiếp tam giác ABC, p là nửa chu vi tam giác ABC

Khi đó ta có $S_{ABC}=\left(p-BC\right).R$

Có $AN=\frac{\sqrt{6}.\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\Rightarrow OA=AN+ON=3\sqrt{2}$

$\Rightarrow SA>OA=3\sqrt{2}$ (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OBM có: $OB=\sqrt{O{M}^2+B{M}^2}=\sqrt{{\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)}^2}=\sqrt{6}$

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SOB có:

Khi đó ta có $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.SO.S_{ABC}=\frac{1}{3}.2\sqrt{3}.{\left(\sqrt{6}\right)}^2.\frac{\sqrt{3}}{4}=3$

Vậy $\min V_{S.ABC}=3$

Đáp án cần chọn là: A