Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng 2, góc BAD = 60 độ, SA=SC và tam giác SBD vuông cân tại S.

Gọi $O=AC\cap BD$ ta có:

$SA=SC\Rightarrow \text{Δ}SAC$ cân tại S$\Rightarrow SO\perp AC$

Tam giác SBD vuông cân tại S$\Rightarrow SO\perp BD$

$\Rightarrow SO\perp \left(ABCD\right)$

Trong (SBD), gọi $I=MN\cap BD$

Đặt $\frac{SM}{SB}=x,\frac{SN}{SD}=y(0<x,y<1)$

Ta có: $\frac{V_{S.AME}}{V_{S.ABC}}=\frac{SM}{SB}.\frac{SE}{SC}=\frac{1}{2}x\Rightarrow \frac{V_{S.AME}}{V_{S.ABCD}}=\frac{1}{4}x$

Ta lại có: $\frac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABD}}=\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SD}=xy\Rightarrow \frac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABCD}}=\frac{xy}{2}$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \frac{x+y}{4}=\frac{3xy}{4}\iff x+y=3xy$

Do $x,y>0\Rightarrow 3x-1>0\iff x>\frac{1}{3}$

Khi đó ta có $\frac{V_{S.AMNE}}{V_{S.ABCD}}=\frac{1}{4}\left(x+\frac{x}{3x-1}\right)$

Xét hàm số $f\left(x\right)=x+\frac{x}{3x-1}\left(x>\frac{1}{3}\right)$ ta có:

$f^{\text{'}}\left(x\right)=1-\frac{1}{{\left(3x-1\right)}^2}=0\iff \left[\begin{array}{c}3x-1=1\\ 3x-1=-1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{2}{3}\\ x=0\left(ktm\right)\end{array}\right.$
BBT: