Cho tứ diện ABCD có AB=a căn bậc hai của 6, tam giác ACD đều, hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (BCD)

Ta có: $\left\{\begin{array}{c}\left(ADN\right)\cap \left(ACD\right)=AD\\ NP\subset \left(ADN\right),NP\perp AD\left(cmt\right)\\ CP\subset \left(ACD\right),CP\perp AD\left(cmt\right)\end{array}\right.$

Ta có: $BC\perp \left(ADN\right)\left(cmt\right)\Rightarrow CN\perp NP\Rightarrow NCP$ vuông tại N, lại có

$\angle NPC={45}^0\left(cmt\right)\Rightarrow \angle NCP={45}^0$ hay $\angle BCP={45}^0\left(1\right)$

Gọi $G=AM\cap CP\Rightarrow G$ là trọng tâm tam giác đều ACD.

Ta có:

$\left\{\begin{array}{c}AD\perp \left(BCP\right)\left(cmt\right)\Rightarrow AD\perp BG\\ CD\perp \left(ABM\right)\left(cmt\right)\Rightarrow CD\perp BG\end{array}\Rightarrow BG\perp \left(ACD\right)\right.$ mà G là trọng tâm tam giác đều 
$ACD\Rightarrow BA=BC=BD=a\sqrt{6}$

Ta có $BG\perp \left(ACD\right)\Rightarrow BG\perp CG\Rightarrow \text{Δ}BCG$  vuông tại G  (2).

Từ (1) và (2) suy ra tam giác BCG vuông cân tại $G\Rightarrow BG=CG=\frac{BC}{\sqrt{2}}=a\sqrt{3}$

Ta có: $CP=\frac{3}{2}CG=\frac{3a\sqrt{3}}{2}=AC\frac{\sqrt{3}}{2}$ đều cạnh 3a3a nên
$S_{\text{Δ}ACD}=\frac{{\left(3a\right)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{9a^2\sqrt{3}}{4}$

Vậy $V_{ABCD}=\frac{1}{3}BG.S_{\text{Δ}ACD}=\frac{1}{3}.a\sqrt{3}.\frac{9a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{9a^3}{4}$

Đáp án cần chọn là: C