Cho khối trụ có hai đáy là (O) và (O′). AB,CD lần lượt là hai đường kính của (O) và (O′), góc giữa AB và CD bằng 30 độ

Gọi A′,B′ lần lượt là hình chiếu của A,B lên đường tròn (O).

      C′,D′ lần lượt là hình chiếu của C,D lên đường tròn (O′).

=>AC′BD′ là hình bình hành, lại có AB = CD = C′D′ nên  AC′BD′ là hình chữ nhật.

Khi đó AC′BD′.A′CB′D là hình hộp chữ nhật.

Ta có: $V_{A{C}^{\text{'}}B{D}^{\text{'}}.A^{\text{'}}C{B}^{\text{'}}D}=V_{ABCD}+V_{A.A^{\text{'}}CD}+V_{B.B^{\text{'}}CD}+V_{C.C^{\text{'}}AB}+V_{D.D^{\text{'}}AB}$

Ta có: $V_{A.A^{\text{'}}CD}=\frac{1}{3}A{A}^{\text{'}}.S_{A^{\text{'}}CD}=\frac{1}{3}A{A}^{\text{'}}.\frac{1}{2}{S}_{A^{\text{'}}C{B}^{\text{'}}D}=\frac{1}{6}{V}_{A{C}^{\text{'}}B{D}^{\text{'}}.A^{\text{'}}C{B}^{\text{'}}D}$

CMTT ta có: $V_{B.B^{\text{'}}CD}=V_{C.C^{\text{'}}AB}=V_{D.D^{\text{'}}AB}=\frac{1}{6}{V}_{A{C}^{\text{'}}B{D}^{\text{'}}.A^{\text{'}}C{B}^{\text{'}}D}$

Theo bài ra ta có: $\angle \left(AB;CD\right)={30}^0\Rightarrow \angle \left(AB;C^{\text{'}}{D}^{\text{'}}\right)={30}^0$ giả sử $\angle \left(AB;C^{\text{'}}{D}^{\text{'}}\right)=\angle AO{C}^{\text{'}}={30}^0$

Lại có  $OA=O{C}^{\text{'}}=\frac{1}{2}AB=3$

Ta có:  $V_{A{C}^{\text{'}}B{D}^{\text{'}}.A^{\text{'}}C{B}^{\text{'}}D}=A{A}^{\text{'}}.S_{A{C}^{\text{'}}B{D}^{\text{'}}}\Rightarrow 90=A{A}^{\text{'}}.9\iff A{A}^{\text{'}}=10$

Vậy thể tích khối trụ là  $V=\pi r^{2}h=\pi .O{A}^2.A{A}^{\text{'}}=\pi {.3}^2.10=90\pi$

Đáp án cần chọn là: B