Cho khối trụ có hai đáy là hình tròn (O;R) và (O′;R), OO' = 4R. Trên đường tròn tâm O lấy (O) lấy hai điểm A,B

Gọi M là trung điểm của AB ta có:

$OM=\sqrt{O{A}^2-{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2}=\sqrt{R^2-\frac{3R^2}{4}}=\frac{R}{2}$

Giả sử mặt phẳng (P) cắt trục OO’ tại I. Ta có : IA = IB nên $\text{Δ}IAB$ cân tại I, do đó $MI\perp AB$

Do đó góc giữa (P) và mặt đáy bằng $\widehat{IMO}={60}^0$

Xét tam giác vuông IMO có : $OI=OM.\tan 60=\frac{R\sqrt{3}}{2}<\frac{O{O}^{\text{'}}}{2}=2R$

⇒I nằm giữa O và O’. Do đó (P) không cắt đáy còn lại.Vậy hình chiếu của (P) trên (O;R′) là phần diện tích của hình quạt cung lớn AB và$\text{Δ}OAB$ (phần gạch chéo).

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác OAB có :

$\cos \widehat{AOB}=\frac{O{A}^2+O{B}^2-A{B}^2}{2.OA.OB}=\frac{R^2+R^2-3R^2}{2R^2}=-\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{AOB}={120}^0$

$\Rightarrow S_{\text{Δ}OAB}=\frac{1}{2}OA.OB.\sin 120=\frac{1}{2}{R}^2\frac{\sqrt{3}}{2}=R^2\frac{\sqrt{3}}{4}$

Gọi $S_{\stackrel{⏜}{OAB}}$ là diện tích hình quạt $\Rightarrow S_{\stackrel{⏜}{OAB}}=\frac{\frac{4\pi }{3}}{2\pi }.\pi R^2=\frac{2}{3}\pi R^2$

Vậy diện tích phần thiết diện cần tìm là :