Người ta cần chế tạo các món quà lưu niệm bằng đồng có dạng khối chóp tứ giác đều, được mạ vàng bốn mặt

Bước 1: Giả sử chóp tứ giác đều là $S.ABCD$.  Gọi $O=AC\cap BD$ đặt $AB=x\left(x>0\right)$  tính SO theo x.

Giả sử chóp tứ giác đều là S.ABCD. Gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow SO\perp \left(ABCD\right)$

Đặt $AB=x\left(x>0\right)$ ta có $S_{ABCD}=x^2$

Bước 2: Gọi M là trung điểm của CD.  Tính SM theo x, từ đó tính $S_{\text{Δ}SCD}$  theo x.

Gọi M là trung điểm của CD ta có $\left\{\begin{array}{c}CD\perp OM\\ CD\perp SO\end{array}\right.\Rightarrow CD\perp \left(SOM\right)\Rightarrow CD\perp SM$

Ta có$OM=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}AB=\frac{x}{2}$  áp dụng định lí Pytago ta có:

Bước 3: Tìm GTNN của diện tích mạ vàng

Để diện tích mạ vàng nhỏ nhất thì $S_{\text{Δ}SCD}$  nhỏ nhất $\Rightarrow \frac{{48}^2}{x^2}+\frac{x^4}{4}$  đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có $\frac{{48}^2}{x^2}+\frac{x^4}{4}=\frac{1152}{x^2}+\frac{1152}{x^2}+\frac{x^4}{4}\ge 3\sqrt[3]{\frac{1152}{x^2}.\frac{1152}{x^2}.\frac{x^4}{4}}\ge 3.\sqrt[3]{331776}$ (BĐT Cô-si).

Vậy diện tích mạ vàng nhỏ nhất là $\mathrm{4.3.}\sqrt[3]{331776}\approx 831c{m}^3$