Một hình nón đỉnh S có bán kính đáy bằng 2a căn bậc hai của 3, góc ở đỉnh là 120 độ. Thiết diện qua đỉnh

Giả sử O là tâm đáy và AB là một đường kính của đường tròn đáy hình nón.

Thiết diện qua đỉnh của hình nón là tam giác cân SAM. Theo giả thiết hình nón có bán kính đáy

$R=OA=2a\sqrt{3},\widehat{ASB}={120}^{\circ }$ nên $\widehat{ASO}={60}^{\circ }$

Xét tam giác SOA vông tại O, ta có $\sin {60}^{\circ }=\frac{OA}{SA}\Rightarrow SA=\frac{OA}{\sin {60}^{\circ }}=4a$

Diện tích thiết diện là

Do $0<\sin \widehat{ASM}\le 1$ nên $S_{SAM}$  lớn nhất khi và chỉ khi $\sin \widehat{ASM}=1$ hay khi tam giác ASM vuông cân đỉnh S (vì $\widehat{ASB}={120}^{\circ }>{90}^{\circ }$ nên tồn tại tam giác ASM thoả mãn).

Vậy diện tích thiết diện lớn nhất là$S_{\max }=8a^2\text{}$ (đvdt).

Đáp án cần chọn là: A