Chứng minh rằng một tam giác có hai đường phân giác bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân

* Hướng dẫn giải

- Xét tam giác ABC có hai đường phân giác AM và BN bằng nhau. Ta phải chứng minh tam giác ABC cân ở C.

- Giả sử tam giác ABC không là tam giác cân ở C, khi đó hoặc AC > BC hoặc AC < BC.

- Nếu AC > BC thì \(\widehat {ABC} > \widehat {BAC}\) suy ra \(\widehat {ABN} > \widehat {MAB}\) nên AN > BM

Từ M kẻ đường thẳng song song với AC, từ N kẻ đường thẳng song song với AM, hai đường thẳng này cắt nhau tại D.

\(\Delta MAN = \Delta NDM(g.c.g)\) suy ra AN = MD mà AN > MB do đó MD > MB khi đó tam giác MBD, ta có \(\widehat {MDB} < \widehat {MBD}\)   (1)

Mặt khác \(\widehat {NDM} = \widehat {NAM} = \widehat {MAB} < \widehat {NBA} = \widehat {NBM}\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {NDB} < \widehat {NBD}\) vì thế trong tam giác NBD ta lại có BN < ND, nhưng ND = AM, do đó BN < AM trái với giả thiết.

- Nếu AC < BC, chứng minh tương tự ta có BN > AM, trái với giả thiết.

Vậy tam giác ABC cân tại C