Với n là số nguyên dương thoải mãn C 1 n + C 3 n = 13 n, hệ số của hạng

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Ta có 

$\begin{array}{l}\frac{n!}{\left(n-1\right)!}+\frac{n!}{\left(n-3\right)!3!}=13n\\ \Rightarrow n+\frac{1}{6}n\left(n-1\right)\left(n-2\right)=13n\\ \Rightarrow 6+\left(n-1\right)\left(n-2\right)=78\Rightarrow n=10\end{array}$

$$\begin{gathered} {\left(x^2+\frac{1}{x^3}\right)}^n={\left(x^2+x^{-3}\right)}^{10} \\ =\sum _{k=0}^n{C}_{10}^k{\left(x^2\right)}^{10-k}{\left(x^{-3}\right)}^k=\sum _{k=0}^n{C}_{10}^k{x}^{20-5k} \end{gathered}$$

Giải $20-5k=5\Rightarrow k=3$ => hệ số cần tìm là $C_{10}^3=120$.