Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [1;4] và thỏa mãn f(x) = f(2 căn x - 1)/ căn x + lnx / x

* Hướng dẫn giải

Đáp án A.

Lấy tích phân cận $1\to 4$ của giả thiết, ta được

$\begin{array}{l}\underset{1}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)d\text{x}\\ =\underset{1}{\overset{4}{\int }}\frac{f\left(2\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}}d\text{x}+\underset{1}{\overset{4}{\int }}\frac{\ln \text{x}}{x}d\text{x}.\end{array}$

Đặt $t=2\sqrt{x}-1\iff dt=\frac{d\text{x}}{\sqrt{x}}$ và

$\left\{\begin{array}{l}x=1\Rightarrow t=1\\ x=4\Rightarrow t=3\end{array}\right.$.

Khi đó

$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\frac{f\left(2\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}}d\text{x=}\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(t\right)d\text{t=}\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)d\text{x}$

Và

$\begin{array}{l}\underset{1}{\overset{4}{\int }}\frac{\ln \text{x}}{x}d\text{x=}\underset{1}{\overset{4}{\int }}\ln \text{x}d\left(\ln \text{x}\right)\\ \text{=}{\left.\frac{{\ln }^{2}x}{2}\right|}_1^4=\frac{{\ln }^{2}4}{2}=2{\ln }^{2}2.\end{array}$

Vậy

$\begin{array}{l}\underset{1}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)d\text{x}=2{\ln }^{2}x\\ \iff \underset{3}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)d{\text{x=2ln}}^{2}2\end{array}$