Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;-3) và mặt phẳng (P): 2x + 2y - z + 0 = 0

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Đường thẳng d qua $A(1;2;-3)$ và vuông góc (Q) có phương trình $\left\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=2+4t\\ z=-3-4t\end{array}\right.$.

Vì $\begin{array}{l}B=d\cap \left(P\right)\Rightarrow B\left(1+3t;2+4t;-3-4t\right)\in \left(P\right)\\ \Rightarrow t=-1\Rightarrow B\left(-2;-2;1\right)\end{array}$

Ta có $\left\{\begin{array}{l}M\in \left(P\right)\\ MA\perp MB\end{array}\right.\Rightarrow M$ thuộc đường tròn giao tuyến của $\left(P\right)$ và mặt cầu $\left(S\right)$ (tâm I, đường kính AB)

Phương trình mặt cầu S là ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+y^2+{\left(z+1\right)}^2=\frac{41}{4}.$ 

Và $d\left(I,\left(P\right)\right)=\frac{\left|2.\left(-\frac{1}{2}\right)+2.0+1+9\right|}{3}=3$

Khi đó $BK=\sqrt{I{B}^2-d^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$ với K là tâm đường tròn giao tuyến của (P) và (S).

Để MB lớn nhất $\iff$ MB là đường kính đường tròn giao tuyến $\Rightarrow MB=2BK=\sqrt{5}$.