Cho phương trình log 0.5 (m + 6x) + log (3 - 2x - x^2) = 0 (m là tham số). Có bao nhiêu giá trị

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Ta có:  

$\begin{array}{l}{\log }_{0,5}\left(m+6x\right)+{\log }_2\left(3-2x-x^2\right)=0\\ \iff -{\log }_2\left(m+6x\right)+{\log }_2\left(3-2x-x^2\right)=0\end{array}$

$\begin{array}{l}\iff {\log }_2\left(m+6x\right)={\log }_2\left(3-2x-x^2\right)\\ \iff \left\{\begin{array}{l}3-2x-x^2>0\\ m+6x=3-2x-x^2\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}1>x>-3\\ m=-x^2-8x+3=f\left(x\right)\end{array}\right.\end{array}$

Xét hàm số $f\left(x\right)=-x^2-8x+3$ trên khoảng $\left(-3;1\right)$ ta có: 

$f\text{'}\left(x\right)=-2x-8<0\left(\forall x\in \left(-3;1\right)\right)$

Lại có: $f\left(-3\right)=18;f\left(1\right)=-6$ 

Suy ra PT có nghiệm khi $m\in \left(-6;18\right)\Rightarrow$ có 17 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.