Có bao nhiêu giá trị nguyên hàm của tham số m nhỏ hơn 10 để phương trình sau

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Đặt $\sqrt{m+e^x}=a;e^x=b\left(a\ge 0;b>0\right)$ ta có:

$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{m+b}=a\\ m+a=b\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m+b=a^2\\ m+a=b^2\end{array}\right.$

 $$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}m+b=a^2\\ b-a=a^2-b^2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m+b=a^2\\ \left(a-b\right)\left(a+b+1\right)=0\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}m=a^2-b\\ a=b\end{array}\right. \end{gathered}$$

( Do $a\ge 0;b>0$)

Khi đó $m=b^2-b\left(b>0\right)$ 

Do $b^2-b\ge -\frac{1}{4}\left(\forall b>0\right)$ nên phương trình có nghiệm khi $m\ge -\frac{1}{4}$

Do đó có 10 giá trị nguyên của $m\in \left[-\frac{1}{4};10\right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.