Cho hai số phức z, w thỏa mãn {|z - 3 - 2i| <= 1; |w + 1 + 2i| <= |w - 2 - i|. Tìm giá trị nhỏ nhất P min

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Đặt $z=x+yi\left(x,y\in ℝ\right),$

khi đó 

$$\begin{gathered} \left|z-3-2i\right|\le 1 \\ \iff {\left(x-3\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2\le 1 \end{gathered}$$

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là miền trong đường tròn

 ${\left(x-3\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=1.$

Đặt $\text{w}=a+bi\left(a,b\in ℝ\right),$ khi đó $$\begin{gathered} \left|\text{w}+1+2i\right|\le \left|\text{w}-2-i\right| \\ \iff a+b\le 0 \end{gathered}$$

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức w là miền $x+y\le 0,$bờ là đường thẳng $x+y=0$.

Gọi $\left(C\right):{\left(x-3\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=1$có tâm $I\left(3;2\right)$, bán kính $R=1$và $\Delta :x+y=0$.

Do đó

$$\begin{gathered} P=\left|z-\text{w}\right|=MN\Rightarrow M{N}_{\min } \\ =d\left(I;\left(\Delta \right)\right)-R=\frac{5}{\sqrt{2}}-1 \\ =\frac{5\sqrt{2}-2}{2}. \end{gathered}$$