Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và mặt phẳng (P): x + my + (2m + 1)z - (2 + m) = 0

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Ta có

$$\begin{gathered} \left(P\right):x+my+\left(2m+1\right)z-2-m=0 \\ \iff x+z-2+m\left(y+2z-1\right)=0 \end{gathered}$$ 

$\Rightarrow \left(P\right)$ luôn đi qua đường thẳng cố định

 $$\begin{gathered} d:\left\{\begin{array}{l}x+z-2=0\\ y+2z-1=0\end{array}\right..d{\left(A;\left(P\right)\right)}_{m\text{ax}} \\ =d\left(A;\left(d\right)\right) \end{gathered}$$

Lại có

$$\begin{gathered} H\in d:\left\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=1-2t\\ z=t\end{array}\right. \\ \Rightarrow {\overrightarrow{u}}_d=\left(-1;-2;1\right) \end{gathered}$$ 

và $H\left(2-t;1-2t;t\right)$.

Suy ra

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AH}.{\overrightarrow{u}}_d=0 \\ \iff t+4t+t-3=0 \\ \iff t=\frac{1}{2}. \end{gathered}$$ 

Vậy $H\left(\frac{3}{2};0;\frac{1}{2}\right)$.