Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và BC Biết góc

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Ta có  $\widehat{\left(MN,\left(ABCD\right)\right)=}\widehat{MNH}={60}^0,NH=\sqrt{{\left(\frac{3a}{4}\right)}^2+{\left(\frac{a}{4}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{10}}{4}\Rightarrow MH=\frac{a\sqrt{30}}{4}\Rightarrow SO=\frac{a\sqrt{30}}{2}$

Gọi I là trung điểm của AD

Kẻ $OK\perp SI\Rightarrow d\left(BC,DM\right)=d\left(BC,\left(SAD\right)\right)=d\left(C,\left(SAD\right)\right)=2d\left(M,\left(SAD\right)\right)=2OK$ .

Ta có $\frac{1}{O{K}^2}=\frac{1}{O{I}^2}+\frac{1}{O{S}^2}=\frac{1}{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}+\frac{1}{{\left(\frac{a\sqrt{30}}{2}\right)}^2}=\frac{124}{30a^2}\Rightarrow OK=\frac{a\sqrt{30}}{2\sqrt{31}}$.

Vậy $d\left(BC,DM\right)=2OK=\frac{a\sqrt{30}}{\sqrt{31}}$.