Cho a,b,c là các số thực thuộc đoạn [1;2] thỏa mãn [log (2) (a)]^3 + [log (2) (b)]^3 +[log(2) (c)]^3 < hoặc = 1

* Hướng dẫn giải

Đáp án C.

Đặt $\left\{\begin{array}{l}{\log }_{2}a=x\\ {\log }_{2}b=y\\ {\log }_{2}c=z\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=2^x\\ b=2^y\\ c=2^z\end{array}\right.\Rightarrow P={\left(2^x\right)}^3+{\left(2^y\right)}^3+{\left(2^z\right)}^3-3\left(x{.2}^x+y{.2}^y+z{.2}^z\right)$,

trong đó $x^3+y^3+z^3\le 1$  và $x,y,z\in \left[0;1\right].$ 

Dễ chứng minh được $2^x\le x+1,\forall x\in \left[0;1\right]$. Dấu “=” xảy ra $\iff x=0\vee x=1$.

Suy ra

${\left(2^x-x\right)}^3\le 1\iff {\left(2^x\right)}^3\le 3.{\left(2^x\right)}^2.x-{3.2}^x.x^2+x^3+1\Rightarrow {\left(2^x\right)}^3-3x{.2}^x\le 3x{.2}^x\left(2^x-x-1\right)+x^3+1\le x^3+1$Từ đó suy ra $P\le \left(x^3+1\right)+\left(y^3+1\right)+\left(z^3+1\right)\le 4$.

Dấu bằng xảy ra khi trong ba số $x,y,z$ có 1 số bằng 1 và hai số còn lại bằng 0. Do đó chọn C.