cho 0 < a khác 1 và x > 0, y>0 Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Diện tích tam giác $ABC:S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin \hat{A}=\frac{\sqrt{3}{a}^2}{4}$ 

Có  $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2-2.AB.AC.cos\widehat{BAC}}=a\sqrt{3}$

Ta có  $AB\text{'}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2},AI=\sqrt{a^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$

Ta được $AB{\text{'}}^2+A{I}^2=2a^2+{\left(\frac{a\sqrt{5}}{2}\right)}^2=\frac{13a^2}{4}=B\text{'}{I}^2.$ Suy ra tam giác AB’I vuông tại A, có diện tích bằng: $S_{ABI}=\frac{1}{2}.AB\text{'}.AI=\frac{1}{2}a\sqrt{2}.\frac{a\sqrt{5}}{2}=\frac{a^2\sqrt{10}}{4}$ 

Tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác AB’I trên $\left(ABC\right)$ nên ta có:

$S_{ABC}=cos\alpha .S_{AB\text{'}I}\iff cos\alpha =\frac{a^2\sqrt{3}}{4}:\frac{a^2\sqrt{10}}{4}=\frac{\sqrt{30}}{10}$ 

Chú ý: Nếu không được “may mắn có $\Delta AB\text{'}I$ vuông”, ta có thể sử dụng công thức He-rông để tính diện tích tam giác $AB\text{'}I$