hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến SBC bằng ( a căn 2)/2

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Kẻ $AH\perp SB\Rightarrow d\left(A,\left(SBC\right)\right)=AH=\frac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \Delta SAB$ vuông cân tại $A\Rightarrow SA=a$ 

$\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SA.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.a.a^2=\frac{a^3}{3}.$ 

Kẻ  $MN//CD\Rightarrow \frac{SM}{SD}=\frac{SN}{SC}=\frac{3}{4}$

Ta có:  $V_{S.ABD}=V_{S.BCD}=\frac{1}{2}{V}_{S.ABCD}$

$\begin{array}{l}\frac{V_{S.AMNB}}{V_{S.ABCD}}=\frac{V_{S.ABM}+V_{S.BMN}}{2V_{S.ABD}}=\frac{1}{2}\left(\frac{V_{S.ABM}}{V_{S.ABD}}+\frac{V_{S.BMN}}{V_{S.ABD}}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{SM}{SD}+\frac{SM}{SD}.\frac{SN}{SC}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{4}+\frac{3}{4}.\frac{3}{4}\right)=\frac{21}{32}\\ \Rightarrow \frac{V_{MNABCD}}{V_{S.ABCD}}=\frac{11}{32}{V}_{S.ABCD}=\frac{11}{32}.\frac{a^3}{3}=\frac{11a^3}{96}\end{array}$

Vậy  

$V_{MNABCD}=\frac{11}{32}{V}_{S.ABCD}=\frac{11}{32}.\frac{a^3}{3}=\frac{11a^3}{96}$