hình chóp SABC đáy ABC là tam giác đều cạnh ạ,SA vuông góc với (ABC)

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

$SA\perp \left(ABC\right)\Rightarrow AB$ là hình chiếu vuông góc của SB lên $\left(ABC\right)$ 

$\begin{array}{l}\Rightarrow \widehat{\left(SB,\left(ABC\right)\right)}=\widehat{\left(SB,AB\right)}=\widehat{SBA}=60°\\ \Rightarrow SA=AB.\tan 60°=a\sqrt{3}\end{array}$ 

Dựng d qua B và $d//AC$

Dựng $AK\perp d$ tại K

Dựng $AH\perp SK$ tại H

Ta có  $\left\{\begin{array}{l}BK\perp AK\\ BK\perp SA\end{array}\right.\Rightarrow BK\perp \left(SAK\right)\Rightarrow BK\perp AH$

$+\left\{\begin{array}{l}BK\perp AH\\ SK\perp AH\end{array}\right.\Rightarrow AH\perp \left(SBK\right)\Rightarrow d\left[A,\left(SBK\right)\right]=AH$

$+\left\{\begin{array}{l}BK//AC\\ SK\subset \left(SBK\right)\\ AC\not\subset \left(SBK\right)\end{array}\right.\Rightarrow AC//\left(SBK\right)\Rightarrow d\left[AC,SB\right]=d\left[A,\left(SBK\right)\right]=AH$

Gọi M là trung điểm  $AC\Rightarrow BM\perp AC\left(1\right);\left\{\begin{array}{l}BK\perp AK\\ BK//AC\end{array}\right.\Rightarrow AK\perp AC\left(2\right)$

$\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow AK//BM\Rightarrow AKBM$ là hình bình hành $\Rightarrow AK=BM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ 

Xét tam giác SAK vuông tại A ta có $\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{K}^2}+\frac{1}{S{A}^2}=\frac{5}{3a^2}\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{15}}{5}$ 

Vậy $d\left(AC,SB\right)=\frac{a\sqrt{15}}{5}$