tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều ABCD cạnh a căn 2

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Gọi G là trọng tâm $\Delta BCD,$ ta có $AG\perp \left(BCD\right)$ nên AG là trục của $\Delta BCD,$

Gọi M là trung điểm của AB. Qua M dựng đường thẳng $\Delta \perp AB,$ gọi $\left\{I\right\}=\Delta \cap AG$ 

Do đó mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm là I và bán kính $R=IA$

Ta có $\Delta AMI,\Delta AGB$ là hai tam giác vuông đồng dạng nên $\frac{IA}{AB}=\frac{AM}{AG}\Rightarrow AI=AB.\frac{AM}{AG}$

Do $AB=a\sqrt{2},AM=\frac{a\sqrt{2}}{2},AG=\sqrt{{\left(a\sqrt{2}\right)}^2-{\left(\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{2}.\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$ 

Khi đó $R=AI=a\sqrt{2}.\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{2a\sqrt{3}}{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ 

Cách 2: Áp sụng công thức giải nhanh $R=\frac{A{B}^2}{2SG}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$