số thưc a,b thay đổi sao cho hàm số f(x)= -(x^3)+(x+a)^3+(x+b)^3 luôn đồng biến

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Ta có: $f\text{'}\left(x\right)=-3x^2+3{\left(x+a\right)}^2+3{\left(x+b\right)}^2=3x^2+6\left(a+b\right)x+3a^2+3b^2$ 

Để hàm số đồng biến trên $\left(-\infty ;+\infty \right)$ thì $f\text{'}\left(x\right)\ge 0\forall x\in \left(-\infty ;+\infty \right)$ 

$\begin{array}{l}\iff 3x^2+6\left(a+b\right)x+3a^2+3b^2\ge 0\forall x\in ℝ\iff x^2+2\left(a+b\right)x+a^2+b^2\ge 0\forall x\in ℝ\\ \iff \Delta \text{'}={\left(a+b\right)}^2-\left(a^2+b^2\right)\le 0\iff 2ab\le 0\iff ab\le 0\end{array}$ 

TH1:  $b=0\Rightarrow P=a^2-4a+2={\left(a-2\right)}^2-2\ge -2\left(1\right)$

TH2: $a>0,b<0\Rightarrow P={\left(a-2\right)}^2+b^2+\left(-4b\right)-2>-2\left(2\right)$ 

Từ (1) và (2) $\Rightarrow P_{\min }=-2khia=0$ hoặc $b=0.$