cho hình chóp SABC có SA =2, SB=3, SC=4. Góc ASB = 45 độ; góc BSC = 60 độ

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Gọi M, N lần lượt thuộc cạnh SB,SC sao cho $SM=SN=2.$

 Tam giác SMN đều $\Rightarrow SM=SN=MN=2.$

Tam giác SAM có $\widehat{\text{AS}M}={45}^{\circ }\Rightarrow AM=2\sqrt{2-\sqrt{2}}.$ 

Tam giác SAN vuông cân tại S $\Rightarrow AN=SA\sqrt{2}=2\sqrt{2}.$ 

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC $\Rightarrow SI\perp \left(AMN\right).$ 

Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta AMN.$ Diện tích tam giác AMN là

$S=\sqrt{p\left(p-AM\right)\left(p-AN\right)\left(p-MN\right)}\Rightarrow R_{\Delta AMN}=\frac{AM.AN.MN}{4S}=\frac{2\sqrt{4-2\sqrt{2}}}{S_{\Delta AMN}}$,

với $p=\frac{AM+AN+MN}{2}.$ 

Tam giác SAI vuông tại I, có $SI=\sqrt{S{A}^2-I{A}^2}=\sqrt{4-{R^2}_{\Delta AMN}}.$ 

Ta có $\frac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABC}}=\frac{SM}{SB}.\frac{SN}{SC}=\frac{2}{3}.\frac{2}{4}=\frac{1}{3}\Rightarrow V_{S.ABC}=3V_{S.AMN}\Rightarrow d\left(B;\left(SAC\right)\right)=\frac{9V_{S.AMN}}{S_{\Delta SAC}}=\frac{3}{2}.$