GIá trị của A = 1 / 1!.2018! + 1 / 2!.2017! + 1 / 3!.2016! + ... + 1 / 1008!.1011! + 1 / 1009!.1010! bằng

* Hướng dẫn giải

Đáp án D.

Cách 1 (Giải theo trắc nghiệm - Tổng quát hóa – Đặc biệt hóa)

Bài toán tổng quát:

Cho 

$$\begin{gathered} A=\frac{1}{1!.\left(2n\right)!}+\frac{1}{2!.\left(2n-1\right)!}+\frac{1}{3!.\left(2n-2\right)!}+\mathrm{...} \\ +\frac{1}{\left(n-1\right)!.\left(2n\right)!}+\frac{1}{n!.\left(n+1\right)!} \end{gathered}$$

Cho 

$$\begin{gathered} A=\frac{1}{1!.\left(2n\right)!}+\frac{1}{2!.\left(2n-1\right)!}+\frac{1}{3!.\left(2n-2\right)!}+\mathrm{...} \\ +\frac{1}{\left(n-1\right)!.\left(2n\right)!}+\frac{1}{n!.\left(n+1\right)!} \end{gathered}$$

Giá trị của A là:

A. $\frac{2^{2n-1}-1}{\left(2n\right)!}.$

B. $\frac{2^{2n-1}}{\left(2n\right)!}.$   

C. $\frac{2^{2n}}{\left(2n+1\right)!}.$   

D. $\frac{2^{2n}-1}{\left(2n+1\right)!}.$

Đặc biệt hóa: Cho n = 2, ta có: 

$A=\frac{1}{1!.4!}+\frac{1}{2!.3!}=\frac{1}{8}.$

Khi n = 2 ứng với 4 đáp án A, B, C, D, ta thấy chỉ có đáp án D:

$\frac{2^4-1}{5!}=\frac{1}{8}.$

Cách 2 (Làm tự luận)

Ta có: 

$$\begin{gathered} A=\sum _{k=1}^{1009}\frac{1}{k!.\left(2019-k\right)!}\Rightarrow 2019!.A= \\ \sum _{k=1}^{1009}\frac{2019!}{k!.\left(2019-k\right)!}=\sum _{k=1}^{1009}{C}_{2019}^k \end{gathered}$$

Chú ý rằng: $C_{2019}^k=C_{2019}^{2019-k}$

nên $\sum _{k=1}^{1009}{C}_{2019}^k=\sum _{k=1010}^{2018}{C}_{2019}^k$

Ngoài ra ${\left(1+1\right)}^{2019}=\sum _{k=0}^{2019}{C}_{2019}^k=2^{2019}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \sum _{k=1}^{1009}{C}_{2019}^k=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^{2018}{C}_{2019}^k \\ =\frac{1}{2}\left(\sum _{k=0}^{2019}{C}_{2019}^k-2\right) \\ =\frac{1}{2}\left(2^{2019}-2\right)=2^{2018}-1. \end{gathered}$$

Do đó $A=\frac{2^{2018}-1}{2019!}.$